Relationale Zahlen

Relationale Zahlnotation

Im Rahmen der philosophischen Überlegungen, insbesondere über existentielle Gegenwart, mögliche Einmaligkeit, relative Gegensätze, und Individualität haben sich Widersprüche in der klassischen Zahlendefinition aufgetan. Die sich im Übergang zur klassischen Zahlendefinition, in der Relation von relativen Gegensätzen nur bedingt aufheben, sondern einander relativieren lassen sollten. Es soll daher der Versuch gewagt werden, diese aufzuheben. In der klassischen Mathematik sind Zahlen absolute Objekte: 1, 2, 3 usw.

In der relationalen Zahlnotation dagegen ist jede Zahl ein relationaler Anteil eines relativen Ganzen. Das bedeutet: Zahlen existieren nicht isoliert, sondern immer im Verhältnis zu einem Kontext \(G\), der selbst nur als relatives Ganzes gedacht wird.

1. Relatives Ganzes und relationaler Teil

Sei \(G\) ein relatives Ganzes und \(X \subseteq G\) ein relationaler Teil davon. Wir unterscheiden drei Schichten:

• Relative Einheit: $$ \varepsilon(X \mid G) $$
  Dies ist die Identität des Teils \(X\) im Kontext \(G\).
• Relatives Maß: $$ \mu(X \mid G) = \frac{\text{Größe von } X}{\text{Größe von } G} $$
  Dies ist der Anteil von \(X\) relativ zur Gesamtgröße des relativen Ganzen \(G\).
• Normalisierung: $$ \mathcal{N}_G(\mu(X \mid G)) = \varepsilon(X \mid G) $$
  Die Normalisierung hebt das Maß zur Einheit. Damit wird klar: Maß und Identität sind zwei Perspektiven auf einen relationalen Zusammenhang. Dadurch wird jede konkrete Größe zu einer Teil-Identität.

2. Relationale Zahl

Eine Zahl entsteht relational als Summe von Einheiten. Für eine Auswahl \(\mathsf{Part} \subseteq G\) gilt:

$$ \mathfrak{R}(\mathsf{Part} \mid G) = \sum_{X \in \mathsf{Part}} \varepsilon(X \mid G) $$

Das bedeutet: Die relationale Zahl ist die Gesamtheit der relativen Einheiten seiner Teile im Kontext des relativen Ganzen \(G\). Eine relationale Zahl ist formal ein Paar \(X, G\) mit Identität \( \varepsilon(X \mid G)\). Die Kardinalzahl entsteht erst durch \(P\) aus der Maßschicht.

$$

4. Projektion auf klassische Zahl

Klassische Zahlen erscheinen erst durch Projektion. Die Projektion \(P\) wirft die Maßschicht ab und liefert einen Wert:

$$ P\!\left(\varepsilon(X \mid G)\right) = \mu(X \mid G) $$

$$ P\!\left(\mathfrak{R}(\mathsf{Part} \mid G)\right) = \sum_{X \in \mathsf{Part}} \mu(X \mid G) $$

Die klassischen Zahlen sind Projektionen der relationalen Struktur.

4. Identitätsschicht

In der Identitätsschicht gibt es keine Zahlen wie „1“ oder „a“. Sie kennt keine Kardinalzahlen. Stattdessen schreiben wir:

• Relationale Zahl: $$ [X]_G := \varepsilon(X \mid G) $$
• Projektion: $$ P([X]_G) = \mu(X \mid G) $$

Die Identitätsschicht kennt keine Mengenangaben. Im klassischen Denken bedeutet \(\frac{1}{2}\) sei ein Teil von zwei gleichen Teilen, sowie \(\frac{2}{2}\) seien zwei Teile von zwei gleichen Teilen. Doch dafür müsste man wissen, was die \(1\), was die \(2\) ist usw., und was Division mit Divisor \(2\) bedeute.

Im relationalen Ansatz gelte: $$ \mu(X \mid G) $$

Beispiel: Für ein Halbes Ganzes gelte: $$ \mu(X \mid G) = 0.5 $$ Und für ein Ganzes Ganzes gelte: $$ \mu(G \mid G) = 1 $$.

5. Algebraische Operationen im Kontext

Obwohl die Operationen wie Addition oder Multiplikation aussehen wie im klassischen Zahlbereich, sind sie kontextgebunden. Für festes relatives Ganzes \(G\) gilt:

• Addition: $$ [X]_G + [Y]_G := [X \cup Y]_G $$
• Skalierung: $$ \lambda \cdot [X]_G := [\lambda X]_G $$
• Multiplikation (optional): $$ [X]_G \cdot [Y]_G := [X \cap Y]_G $$

Für die Addition relativer Teile gelte: $$ \varepsilon(X \mid G) + \varepsilon(Y \mid G) = \mathcal{R}_G (\{X,Y\} \mid G) $$

Und für die Projektion dieser Addition:

$$ P(\mathcal{R}_G (\{X,Y\} \mid G)) = \mu(X \mid G) + \mu(X \mid G) $$.

6. Einbettung klassischer Zahlbereiche

Die klassischen Zahlbereiche \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\) erscheinen als Projektionen:

• Natürliche Zahl: $$ [X]_G \quad \text{mit } P([X]_G) = n $$
• Rationale Zahl: $$ [X]_G \quad \text{mit } P([X]_G) = \tfrac{p}{q} $$

7. Relationaler Raum

Sei \(A\) ein Zahlenbereich (z. B. \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\)). Für ein festes \(G\) sei der relationale Raum:

$$ \mathcal{R}_G = \varepsilon(X \mid G): \{ [X]_G \} $$

Die Projektionsabbildung \(P:\mathcal{R}_G \rightarrow A \) erzeugt klassische Zahlen als Maßwerte.

8. Schlussfolgerung

Die relationale Zahl ist eine originäre, kontextgebundene Einheit.
Klassische Zahlen entstehen erst durch Projektion.

Der Raum: $$ \mathcal{R}_G = \varepsilon(X \mid G): \{ [X]_G \} $$ sei fundamental – nicht abgeleitet aus den klassischen Zahlbereichen, sondern umgekehrt.