Relationale Zahlen

Relationale Zahlnotation

Im Rahmen der philosophischen Überlegungen, insbesondere über existentielle Gegenwart, mögliche Einmaligkeit, relative Gegensätze, und Individualität haben sich Widersprüche in der klassischen Zahlendefinition aufgetan. Die sich im Übergang zur klassischen Zahlendefinition, in der Relation von relativen Gegensätzen nur bedingt aufheben, sondern einander relativieren lassen sollten. Es soll daher der Versuch gewagt werden, diese aufzuheben. In der klassischen Mathematik sind Zahlen absolute Objekte: 1, 2, 3 usw.

In der relationalen Zahlnotation dagegen ist jede Zahl ein relationaler Anteil eines relativen Ganzen. Das bedeutet: Zahlen existieren nicht isoliert, sondern immer im Verhältnis zu einem Kontext \(G\), der selbst nur als relatives Ganzes gedacht wird.

In der klassischen Zahlenlehre impliziert beispielsweise die Zahl „2“ die Addition: „2“ ist als Zahlzeichen bereits das Ergebnis von „1+1“. Dadurch erhält die Rechenoperation selbst Zahlencharakter. Addiert werden Teile, von denen man nicht weiß, welcher Teil von welchem Teil, welcher ist. Im relationalen Zahlensinn soll dies gerade nicht gelten: Zahlen sind keine primitiven Zeichendefinitionen, sondern Projektionen relationierter Identitäten.

Ebenen der rationalen Zahlendefinition

Die Relationale Zahlentheorie unterscheidet strikt zwischen drei Ebenen:

1. Identitätsebene: Erkennbarkeit von Objekten, jedes Objekt \(o \in O\), welches in der mathematischen Forderung selbst Relationsobjekt einer Zahlnotation sein, respektive werden kann, er hält ein Symbol \( L (o)\), im Bedeutungssinn seiner Zahlennotation.
2. Relationsebene (Zahlenschicht): Bedeutungsbildung durch Relationen. Dies ist die eigentliche Ebene der relationalen Zahl. Sie beschreibt „Teil im Kontext des Ganzen“. Addition oder Aggregation von Relationen erzeugt neue Relationen, aber noch keine Zahlen.
3. Projektionsebene (Maßschicht): Übersetzung von Relationen in Zahlenwerte. Zahlen sind hier Abbilder, nicht Substanz.

Diese Ebenen bilden zusammen den vollständigen Bedeutungsrahmen: Objekte werden zunächst unterscheidbar gemacht (Identität), dann zueinander in Beziehung gesetzt (Relation), und erst anschließend optional in Zahlenwerte übersetzt (Projektion). Es gilt: Zahl = Relation, Maß = Projektion.

Die Teilmenge auf der Relationsebene

In der klassischen Mengenlehre ist eine Teilmenge \(X \subseteq G\) einfach eine Auswahl von Elementen aus einem Ganzen \(G\).

Im relationalen Zahlensinn dagegen ist eine Teilmenge nicht nur eine Auswahl, sondern eine Relation: \(X\) im Kontext von \(G\).

Die Relationsebene macht diese Deutung explizit.

Definition: Sei \(G\) ein relatives Ganzes und \(X \subseteq G\) eine Teilmenge.

Die Relationsebene definiert:

$$[X]_G = \varepsilon(X \mid G)$$.

1. Relatives Ganzes und relationaler Teil

Sei \(G\) ein relatives Ganzes und \(X \subseteq G\) ein relationaler Teil davon. Wir unterscheiden drei Schichten:

• Relative Einheit: $$ \varepsilon(X \mid G) $$
  Dies ist die Identität des Teils \(X\) im Kontext \(G\).
• Relatives Maß: $$ \mu(X \mid G) = \frac{\text{Größe von } X}{\text{Größe von } G} $$
  Dies ist der Anteil von \(X\) relativ zur Gesamtgröße des relativen Ganzen \(G\).
• Normalisierung: $$ \mathcal{N}_G(\mu(X \mid G)) = \varepsilon(X \mid G) $$
  Die Normalisierung hebt das Maß zur Einheit. Damit wird klar: Maß und Identität sind zwei Perspektiven auf einen relationalen Zusammenhang. Dadurch wird jede konkrete Größe zu einer Teil-Identität.

2. Relationale Zahl

Eine Zahl entsteht relational als Summe von Einheiten. Für eine Auswahl \(\mathsf{Part} \subseteq G\) gilt:

$$ \mathfrak{R}(\mathsf{Part} \mid G) = \sum_{X \in \mathsf{Part}} \varepsilon(X \mid G) $$

Das bedeutet: Die relationale Zahl ist die Gesamtheit der relativen Einheiten seiner Teile im Kontext des relativen Ganzen \(G\). Eine relationale Zahl ist formal ein Paar \(X, G\) mit Identität \( \varepsilon(X \mid G)\). Die Kardinalzahl entsteht erst durch \(P\) aus der Maßschicht.

$$

4. Projektion auf klassische Zahl

Klassische Zahlen erscheinen erst durch Projektion. Die Projektion \(P\) wirft die Maßschicht ab und liefert einen Wert:

$$ P\!\left(\varepsilon(X \mid G)\right) = \mu(X \mid G) $$

$$ P\!\left(\mathfrak{R}(\mathsf{Part} \mid G)\right) = \sum_{X \in \mathsf{Part}} \mu(X \mid G) $$

Die klassischen Zahlen sind Projektionen der relationalen Struktur.

4. Identitätsschicht

In der Identitätsschicht gibt es keine Zahlen wie „1“ oder „a“. Sie kennt keine Kardinalzahlen. Stattdessen schreiben wir:

• Relationale Zahl: $$ [X]_G := \varepsilon(X \mid G) $$
• Projektion: $$ P([X]_G) = \mu(X \mid G) $$

Die Identitätsschicht kennt keine Mengenangaben. Im klassischen Denken bedeutet \(\frac{1}{2}\) sei ein Teil von zwei gleichen Teilen, sowie \(\frac{2}{2}\) seien zwei Teile von zwei gleichen Teilen. Doch dafür müsste man wissen, was die \(1\), was die \(2\) ist usw., und was Division mit Divisor \(2\) bedeute.

Im relationalen Ansatz gelte: $$ \mu(X \mid G) $$

Beispiel: Für ein Halbes Ganzes gelte: $$ \mu(X \mid G) = 0.5 $$ Und für ein Ganzes Ganzes gelte: $$ \mu(G \mid G) = 1 $$.

5. Algebraische Operationen im Kontext

Obwohl die Operationen wie Addition oder Multiplikation aussehen wie im klassischen Zahlbereich, sind sie kontextgebunden. Für festes relatives Ganzes \(G\) gilt:

• Addition: $$ [X]_G + [Y]_G := [X \cup Y]_G $$
• Skalierung: $$ \lambda \cdot [X]_G := [\lambda X]_G $$
• Multiplikation (optional): $$ [X]_G \cdot [Y]_G := [X \cap Y]_G $$

Für die Addition relativer Teile gelte: $$ \varepsilon(X \mid G) + \varepsilon(Y \mid G) = \mathcal{R}_G (\{X,Y\} \mid G) $$

Und für die Projektion dieser Addition:

$$ P(\mathcal{R}_G (\{X,Y\} \mid G)) \\ = \mu(X \mid G) + \mu(X \mid G) $$

6. Einbettung klassischer Zahlbereiche

Die klassischen Zahlbereiche \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\) erscheinen als Projektionen:

• Natürliche Zahl: $$ [X]_G \quad \text{mit } P([X]_G) = n $$
• Rationale Zahl: $$ [X]_G \quad \text{mit } P([X]_G) = \tfrac{p}{q} $$

7. Relationaler Raum

Sei \(A\) ein Zahlenbereich (z. B. \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\)). Für ein festes \(G\) sei der relationale Raum:

$$ \mathcal{R}_G = \varepsilon(X \mid G): \{ [X]_G \} $$

Die Projektionsabbildung \(P:\mathcal{R}_G \rightarrow A \) erzeugt klassische Zahlen als Maßwerte.

Obwohl die Operationen in \(\mathcal{R}_G\) formal wie in \(A\) aussehen, gilt:

$$ \mathcal{R}_G \not\cong A $$

Denn:

• \(A\) existiert nicht fundamental, sondern nur als Bild unter \(P\).
• \(\mathcal{R}_G\) ist ein originärer Raum von Identitäten: $$ \mathcal{R}_G = \{ [X]_G \mid X \in G \} $$

8. Schlussfolgerung

Die relationale Zahl ist eine originäre, kontextgebundene Einheit.
Klassische Zahlen entstehen erst durch Projektion.

Der Raum: $$ \mathcal{R}_G = \varepsilon(X \mid G): \{ [X]_G \} $$ sei fundamental – nicht abgeleitet aus den klassischen Zahlbereichen, sondern umgekehrt.

Relationale Struktur der rationalen Zahl: Vielheit und Selbstrelation

Selbstrelation: Für ein Objekt \(o \in G\) gilt:

$$[o]_G := \varepsilon(\{o\}\mid G)$$

Dies ist die elementarste Relation: „Objekt \(o\) im Kontext \(G\)“. Sie drückt keine Zahl aus, sondern ausschließlich die Kontextbindung.

Vielheit: Für eine Teilmenge \(X=\{o_1,\dots,o_m\}\subseteq G\) gelte:

$$[X]_G := \varepsilon(X\mid G) = [o_1]_G + \cdots + [o_m]_G.$$

Die Vielheit ist Aggregation von Selbstrelationen. Sie ist invariant gegenüber Vertauschung der Objekte und bleibt rein relational, solange keine Projektion gewählt wird.

Normalbruch: Definition: Der Normalbruch ist die Projektion einer Vielheitsrelation:

$$P([X]_G) = \frac{|X|}{|G|}.$$

Er drückt den Anteil der Teilmenge \(X\) im definierten Ganzen \(G\) aus. Besteht als Projektion einer Vielheitsrelation im definierten Ganzen.

Eigenschaften

• Kontextgebunden: Nur im definierten Ganzen projektionsfähig.
• Reihenfolgeinvariant: hängt nur von \(|X|\) ab.

Der Normalbruch zeigt die elementare Verbindung von Selbstrelation, Vielheit und Maß.

Doppelbruch: Definition: Die Doppelbruchrelation ist das Verhältnis zweier Projektionen:

$$\frac{P([X]_G)}{P([Y]_H)} = \frac{|X|/|G|}{|Y|/|H|} = \frac{|X|\cdot |H|}{|Y|\cdot |G|}.$$

Eigenschaften

• Kontextabhängig: Nur sinnvoll, wenn \(G,H\) definiert sind.
• Kontextkürzung: Wenn \(G=H\), reduziert sich die Relation auf \(\tfrac{|X|}{|Y|}\).

Division existiert nicht auf der Relationsebene, sondern nur projektiv über Inversion, als Verhältnis zweier Projektionen.

Auflösungsrelationen: Die Bruchrelation lässt sich entlang verschiedener Dimensionen auflösen:

Ordinalität: Stellung der Teile im Kontext:

$$[o_i]_G^{\text{ord}} := \varepsilon(\{o_i\}\mid G, \text{Position } i).$$

Projektion ignoriert Ordinalität, relational bleibt sie sichtbar. Es handelt sich vergleichsweise um eine innere Struktur (Indexierung).

Kardinalität: Anzahl der Teile im Verhältnis zum Ganzen:

$$[X]_G^{\text{card}} := |X|, \qquad P([X]_G)=\frac{|X|}{|G|}.$$

Dies ist die klassische Grundlage der Bruchprojektion.

Richtungsabhängigkeit: Orientierung der Relation:

$$[X]_G^{\rightarrow} = \varepsilon(X \to G), $$

$$[X]_G^{\leftarrow} := \varepsilon(G \to X).$$

Projektion:

$$P([X]_G^{\rightarrow}) = \frac{|X|}{|G|}, $$

$$P([X]_G^{\leftarrow}) = \frac{|G|}{|X|}.$$

Bruch und Kehrbruch sind Richtungsvarianten derselben Relation. Richtungsabhängigkeit ist eine äußere Orientierung (Relation zwischen Teil und Ganzem).

Kontextkürzung: Definition: Wenn \(G=H\), reduziert sich die Doppelbruchrelation auf eine reine Kardinalrelation:

$$\frac{P([X]_G)}{P([Y]_G)} = \frac{|X|}{|Y|}.$$

Bedeutung: Die Doppelbruchrelation hebt sich mit der Normalbruchrelation auf und bleibt als Kardinalrelation bestehen.

Richtungsdualität: Definition: Normalbruch und Doppelbruch sind Richtungsvarianten derselben Relation:

$$P([X]_G^{\rightarrow}) = \frac{|X|}{|G|}, $$

$$P([X]_G^{\leftarrow}) = \frac{|G|}{|X|}.$$

Bedeutung: Der Doppelbruch kann als „Richtungsumkehr“ des Normalbruchs gelesen werden, wenn Teil und Ganzes vertauscht werden.

Ordinal-Kardinal-Überlagerung: Definition: Die Kardinalrelation \(|X|\) ist reihenfolgeinvariant, die Ordinalrelation \([o_i]_G^{\text{ord}}\) reihenfolgeabhängig.

Aggregiert gilt:

$$[X]_G = \sum_i [o_i]_G^{\text{ord}}, \qquad P([X]_G)=\frac{|X|}{|G|}.$$

Bedeutung: Der Normalbruch ist die Projektion der Aggregation von Ordinalrelationen; die Doppelbruchrelation vergleicht diese Aggregationen.

Differenzrelation: Definition: Die Differenz zweier Normalbrüche ist nur gültig, wenn eine Teilmengenrelation besteht:

$$P([S]_G) – P([T]_G) = \frac{|S|-|T|}{|G|}, $$

$$\text{falls } T \subseteq S.$$

Bedeutung: Die Differenzrelation verbindet Normalbruch und Kardinalrelation; sie verschwindet, wenn keine Teilmengenrelation gilt.

Produktrelation: Definition: Multiplikation von Normalbrüchen entspricht der Komposition von Vielheitsrelationen:

$$P([X]_G) \cdot P([Y]_H) = P([X]_G \otimes [Y]_H).$$

Bedeutung: Die Produktrelation verbindet Normalbruch und Doppelbruch als kombinierte Projektion zweier Kontexte.