Relationale Zahlen

Relationale Zahlnotation

Im Rahmen der philosophischen Überlegungen, insbesondere über existentielle Gegenwart, mögliche Einmaligkeit, relative Gegensätze, und Individualität haben sich Widersprüche in der klassischen Zahlendefinition^[1]Es soll hier keine abschließende Definition einer eigenen Zahlenkategorie für sich beansprucht werden. Es handelt sich um erste Überlegungen, aus reinem Interesse, bei denen prinzipiell jeder für … Continue reading aufgetan. Die sich im Übergang zur klassischen Zahlendefinition, in der Relation von relativen Gegensätzen nur bedingt aufheben, sondern einander relativieren lassen sollten. Es soll daher der Versuch gewagt werden, diese aufzuheben. In der klassischen Mathematik sind Zahlen absolute Objekte: 1, 2, 3 usw. Die bei einer Operation als geschlossen anzusehen sind, und sich im unbestimmten Teil auf ein Ganzes bezogen haben sollten, das undefiniert geblieben sein müsste. Über den Versuch, etwas als eindeutig, unteilbar zu fassen^[2]So wäre dem in der Deutung ein Zeichen gegeben worden, und noch eines, welches sich im gleichen Gedanken darauf stützen sollte, als es im Gegensatz keine Mehrzahl impliziert, oder tatsächlich … Continue reading.

In der klassischen Zahlenlehre impliziert beispielsweise die Zahl „2“ die Addition: „2“ ist als Zahlzeichen bereits das Ergebnis von „1+1“. Dadurch erhält die Rechenoperation selbst Zahlencharakter^[3]Wir führen einige Grundüberlegungen durch, unter dem Aspekt die klassischen Zahlendefinitionen zu erläutern: Daher, 2 sei das doppelte von 1, weil 1 wäre ambivalent im gleichen Sinne, von wo aus … Continue reading. Weil es keine Voraussetzung sein müsste, unterdessen einer Verbindung zu genügen. Addiert werden Teile, von denen man nicht weiß, welcher Teil von welchem Teil, welcher ist. Im relationalen Zahlensinn soll dies gerade nicht gelten: Zahlen sind keine primitiven Zeichendefinitionen, sondern Projektionen relationierter Identitäten.

In der klassischen Zahlentheorie wird angenommen, dass die Unendlichkeit, die Ausdruck unserer Vorstellungen sein kann, und mathematisch erfasst werden sollte, unteilbar sein würde. Es liefert hinsichtlich Einmaligkeit, oder Unteilbarkeit gleich ein signifikantes Paradoxon, weil Endlichkeit und Unendlichkeit im Zahlenbegriff eigentlich schon verknüpft sind, eine Zahl wäre in diesem Sinne eine abgeschlossene Einheit, die jedoch in sich selbst immer weiter geführt werden könnte. 

In der relationalen Zahlnotation dagegen ist jede Zahl ein relationaler Anteil eines relativen Ganzen. Das bedeutet: Zahlen existieren nicht isoliert, sondern immer im Verhältnis zu einem Kontext \(G\), der selbst nur als relatives Ganzes gedacht wird.

Die Unendlichkeit ließe sich aber nicht teilen, weil kein eindeutiger Wert definiert werden könnte, der dieses Phänomen wiedergibt. Die Widersprüche, die sich unterdessen bei der klassischen Zahlenlehre auftun waren bereits genannt, die zur relationalen Zahlenidee geführt haben sollten. Unmöglich erscheint nicht die Unendlichkeit der Relationen. Wenn ein unbestimmter Teil im Widerspruch des Zahlenbereichs fortbestünde, also eine Menge eigentlich nie endlich bestimmt betrachtet werden könnte, weil im relativen Gegensatz, und per Definition gesehen, ein anderer Teil immer fortbestünde, müsste dieser eigentlich als relativ unendlich angesehen werden könnte. 

Die Frage lautet also auch, ob über die relationale Zahl, wenn sie als objektiv unendlich betrachtet werden würde, innerhalb einer unendlichen Anzahl an Relationen, eine Definitionsebene trotzdem möglich erscheine, weil aus der Relation, ein relatives Ganzes unweigerlich gegeben sein müsste, als der Teil, der ohnehin unbestimmt sein müsste. Die Unendlichkeit würde beibehalten werden, in der Zahl vorhanden bleiben, jedoch relativiert werden, wie eine bestimmte Menge daraus. 

Die Einführung der Relationalen Zahlen ist nicht auf einfache Berechnungen ausgelegt, dies ergibt sich schon aus den Widersprüchen der klassischen Zahlendefinitionen (Vereinheitlichung von Zahlen und Operatoren, Deutungsunbestimmtheit), die aufgezeigt werden sollten. Es geht um das Grundverständnis für die Zahlen. Ob die Definition notwendig erscheint, im Zusammenhang von bestehenden Zahlensystemen, Notationen, Definitionen, so bleibt der Ansatz erhalten^[4]Ausgehend von der menschlichen Deutung, von Objekten, Gegenständen, von Zahlenzeichen, muss es eine Bedeutung geben, wie bekannte Zahlensysteme abgeleitet wurden. Der Mensch neigt gerne dazu, etwas … Continue reading. 

Ebenen der rationalen Zahlendefinition

Die Relationale Zahlentheorie unterscheidet strikt zwischen drei Ebenen:

1. Identitätsebene: Erkennbarkeit von Objekten, jedes Objekt \(o \in O\), welches in der mathematischen Forderung selbst Relationsobjekt einer Zahlnotation sein, respektive werden kann, er hält ein Symbol \( L (o)\), im Bedeutungssinn einer universellen Zahlennotation. Zuordnungen gelten als relativ unendlich, weil prinzipiell jede Auswahl getroffen werden kann. Im relativen Gegensatz ist die Zuordnung richtungsunabhängig, universell.
2. Relationsebene (Zahlenschicht): Bedeutungsbildung durch Relationen. Dies ist die eigentliche Ebene der relationalen Zahl. Sie beschreibt „Teil im Kontext des Ganzen“.  Addition oder Aggregation von Relationen erzeugt neue Relationen, aber noch keine Zahlen.
3. Projektionsebene (Maßschicht): Übersetzung von Relationen in Zahlenwerte. Zahlen sind hier Abbilder, nicht Substanz.

Diese Ebenen bilden zusammen den vollständigen Bedeutungsrahmen: Objekte werden zunächst unterscheidbar gemacht (Identität), dann zueinander in Beziehung gesetzt (Relation), und erst anschließend optional in Zahlenwerte übersetzt (Projektion). Es gilt: Zahl = Relation, Maß = Projektion. Die Auswahl bedingt in der Komposition die Zahlendefinition, der relative Gegensatz ist eine “unechte Verhältnisoperation”. Er kann sich aufheben, aber bedingen, die immer unbestimmte Menge, die im Gegensatz abgebildet werden sollte, um Zahlencharakter zu tragen, bleibt relativ erhalten. 

Die Teilmenge auf der Relationsebene

In der klassischen Mengenlehre ist eine Teilmenge \(X \subseteq G\) einfach eine Auswahl von Elementen aus einem Ganzen \(G\).

Im relationalen Zahlensinn dagegen ist eine Teilmenge nicht nur eine Auswahl, sondern eine Relation: \(X\) im Kontext von \(G\).

Die Relationsebene macht diese Deutung explizit.

Definition: Sei \(G\) ein relatives Ganzes und \(X \subseteq G\) eine Teilmenge.

Die Relationsebene definiert:

$$[X]_G = \varepsilon(X \mid G)$$.

1. Relatives Ganzes und relationaler Teil

Sei \(G\) ein relatives Ganzes und \(X \subseteq G\) ein relationaler Teil davon. Wir unterscheiden drei Schichten:

• Relative Einheit: $$ \varepsilon(X \mid G) $$
  Dies ist die Identität des Teils \(X\) im Kontext \(G\).
• Relatives Maß: $$ \mu(X \mid G) = \frac{\text{Größe von } X}{\text{Größe von } G} $$
  Dies ist der Anteil von \(X\) relativ zur Gesamtgröße des relativen Ganzen \(G\).
• Normalisierung: $$ \mathcal{N}_G(\mu(X \mid G)) = \varepsilon(X \mid G) $$
  Die Normalisierung hebt das Maß zur Einheit. Damit wird klar: Maß und Identität sind zwei Perspektiven auf einen relationalen Zusammenhang. Dadurch wird jede konkrete Größe zu einer Teil-Identität.

2. Relationale Zahl

Eine Zahl entsteht relational als Summe von Einheiten. Für eine Auswahl \(\mathsf{Part} \subseteq G\) gilt:

$$ \mathfrak{R}(\mathsf{Part} \mid G) = \sum_{X \in \mathsf{Part}} \varepsilon(X \mid G) $$

Das bedeutet: Die relationale Zahl ist die Gesamtheit der relativen Einheiten seiner Teile im Kontext des relativen Ganzen \(G\). Eine relationale Zahl ist formal ein Paar \(X, G\) mit Identität \( \varepsilon(X \mid G)\). Die Kardinalzahl entsteht erst durch \(P\) aus der Maßschicht.

$$

4. Projektion auf klassische Zahl

Klassische Zahlen erscheinen erst durch Projektion. Die Projektion \(P\) wirft die Maßschicht ab und liefert einen Wert:

$$ P\!\left(\varepsilon(X \mid G)\right) = \mu(X \mid G) $$

$$ P\!\left(\mathfrak{R}(\mathsf{Part} \mid G)\right) = \sum_{X \in \mathsf{Part}} \mu(X \mid G) $$

Die klassischen Zahlen sind Projektionen der relationalen Struktur.

4. Identitätsschicht

In der Identitätsschicht gibt es keine Zahlen wie „1“ oder „a“. Sie kennt keine Kardinalzahlen. Stattdessen schreiben wir:

• Relationale Zahl: $$ [X]_G := \varepsilon(X \mid G) $$
• Projektion: $$ P([X]_G) = \mu(X \mid G) $$

Die Identitätsschicht kennt keine Mengenangaben. Im klassischen Denken bedeutet \(\frac{1}{2}\) sei ein Teil von zwei gleichen Teilen, sowie \(\frac{2}{2}\) seien zwei Teile von zwei gleichen Teilen. Doch dafür müsste man wissen, was die \(1\), was die \(2\) ist usw., und was Division mit Divisor \(2\) bedeute.

Im relationalen Ansatz gelte: $$ \mu(X \mid G) $$

Beispiel: Für ein Halbes Ganzes gelte: $$ \mu(X \mid G) = 0.5 $$ Und für ein Ganzes Ganzes gelte: $$ \mu(G \mid G) = 1 $$.

5. Algebraische Operationen im Kontext

Obwohl die Operationen wie Addition oder Multiplikation aussehen wie im klassischen Zahlbereich, sind sie kontextgebunden. Für festes relatives Ganzes \(G\) gilt:

• Addition: $$ [X]_G + [Y]_G := [X \cup Y]_G $$
• Skalierung: $$ \lambda \cdot [X]_G := [\lambda X]_G $$
• Multiplikation (optional): $$ [X]_G \cdot [Y]_G := [X \cap Y]_G $$

Für die Addition relativer Teile gelte: $$ \varepsilon(X \mid G) + \varepsilon(Y \mid G) = \mathcal{R}_G (\{X,Y\} \mid G) $$

Und für die Projektion dieser Addition:

$$ P(\mathcal{R}_G (\{X,Y\} \mid G)) \\ = \mu(X \mid G) + \mu(X \mid G) $$

6. Einbettung klassischer Zahlbereiche

Die klassischen Zahlbereiche \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\) erscheinen als Projektionen:

• Natürliche Zahl: $$ [X]_G \quad \text{mit } P([X]_G) = n $$
• Rationale Zahl: $$ [X]_G \quad \text{mit } P([X]_G) = \tfrac{p}{q} $$

7. Relationaler Raum

Sei \(A\) ein Zahlenbereich (z. B. \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\)). Für ein festes \(G\) sei der relationale Raum:

$$ \mathcal{R}_G = \varepsilon(X \mid G): \{ [X]_G \} $$

Die Projektionsabbildung \(P:\mathcal{R}_G \rightarrow A \) erzeugt klassische Zahlen als Maßwerte.

Obwohl die Operationen in \(\mathcal{R}_G\) formal wie in \(A\) aussehen, gilt:

$$ \mathcal{R}_G \not\cong A $$

Denn:

• \(A\) existiert nicht fundamental, sondern nur als Bild unter \(P\).
• \(\mathcal{R}_G\) ist ein originärer Raum von Identitäten: $$ \mathcal{R}_G = \{ [X]_G \mid X \in G \} $$

8. Schlussfolgerung

Die relationale Zahl ist eine originäre, kontextgebundene Einheit.
Klassische Zahlen entstehen erst durch Projektion.

Der Raum: $$ \mathcal{R}_G = \varepsilon(X \mid G): \{ [X]_G \} $$ sei fundamental – nicht abgeleitet aus den klassischen Zahlbereichen, sondern umgekehrt.

Relationale Struktur der rationalen Zahl: Vielheit und Selbstrelation

Selbstrelation: Für ein Teil \(X\) relativ zu sich selbst sei:

\(\varepsilon(X \mid X)\) = relative Einheit im Eigenraum:

$$ X, (X \mid X) = \varepsilon(X\mid X),$$

$$N_X(\varepsilon(X\mid X)) = \varepsilon(X\mid X).$$

Für ein relativ normiertes Objekt \(o \in G\) gelte:

$$[o]_G := \varepsilon(\{o\}\mid G)$$

Es sei Objekt \(o\) im Kontext \(G\).

Vielheit: Für eine Teilmenge \(X=\{o_1,\dots,o_m\}\subseteq G\) gelte:

$$[X]_G := \varepsilon(X\mid G) = [o_1]_G + \cdots + [o_m]_G.$$

Die Vielheit ist Aggregation von Selbstrelationen. Sie ist invariant gegenüber Vertauschung der Objekte und bleibt rein relational, solange keine Projektion gewählt wird.

Normalbruch: Definition: Der Normalbruch ist die Projektion einer Vielheitsrelation:

$$P([X]_G) = \frac{|X|}{|G|}.$$

Er drückt den Anteil der Teilmenge \(X\) im definierten Ganzen \(G\) aus. Besteht als Projektion einer Vielheitsrelation im definierten Ganzen.

Eigenschaften

• Kontextgebunden: Nur im definierten Ganzen projektionsfähig.
• Reihenfolgeinvariant: hängt nur von \(|X|\) ab.

Der Normalbruch zeigt die elementare Verbindung von Selbstrelation, Vielheit und Maß.

Doppelbruch: Definition: Die Doppelbruchrelation ist das Verhältnis zweier Projektionen:

$$\frac{P([X]_G)}{P([Y]_H)} = \frac{|X|/|G|}{|Y|/|H|} = \frac{|X|\cdot |H|}{|Y|\cdot |G|}.$$

Eigenschaften

• Kontextabhängig: Nur sinnvoll, wenn \(G,H\) definiert sind.
• Kontextkürzung: Wenn \(G=H\), reduziert sich die Relation auf \(\tfrac{|X|}{|Y|}\).

Division existiert nicht auf der Relationsebene, sondern nur projektiv über Inversion, als Verhältnis zweier Projektionen.

Auflösungsrelationen: Die Bruchrelation lässt sich entlang verschiedener Dimensionen auflösen:

Ordinalität: Stellung der Teile im Kontext:

$$[o_i]_G^{\text{ord}} := \varepsilon(\{o_i\}\mid G, \text{Position } i).$$

Projektion ignoriert Ordinalität, relational bleibt sie sichtbar. Es handelt sich vergleichsweise um eine innere Struktur (Indexierung).

Kardinalität: Anzahl der Teile im Verhältnis zum Ganzen:

$$[X]_G^{\text{card}} := |X|, \qquad P([X]_G)=\frac{|X|}{|G|}.$$

Dies ist die klassische Grundlage der Bruchprojektion.

Richtungsabhängigkeit: Orientierung der Relation:

$$[X]_G^{\rightarrow} = \varepsilon(X \to G), $$

$$[X]_G^{\leftarrow} := \varepsilon(G \to X).$$

Projektion:

$$P([X]_G^{\rightarrow}) = \frac{|X|}{|G|}, $$

$$P([X]_G^{\leftarrow}) = \frac{|G|}{|X|}.$$

Bruch und Kehrbruch sind Richtungsvarianten derselben Relation. Richtungsabhängigkeit ist eine äußere Orientierung (Relation zwischen Teil und Ganzem).

Kontextkürzung: Definition: Wenn \(G=H\), reduziert sich die Doppelbruchrelation auf eine reine Kardinalrelation:

$$\frac{P([X]_G)}{P([Y]_G)} = \frac{|X|}{|Y|}.$$

Bedeutung: Die Doppelbruchrelation hebt sich mit der Normalbruchrelation auf und bleibt als Kardinalrelation bestehen.

Richtungsdualität: Definition: Normalbruch und Doppelbruch sind Richtungsvarianten derselben Relation:

$$P([X]_G^{\rightarrow}) = \frac{|X|}{|G|}, $$

$$P([X]_G^{\leftarrow}) = \frac{|G|}{|X|}.$$

Bedeutung: Der Doppelbruch kann als „Richtungsumkehr“ des Normalbruchs gelesen werden, wenn Teil und Ganzes vertauscht werden.

Ordinal-Kardinal-Überlagerung: Definition: Die Kardinalrelation \(|X|\) ist reihenfolgeinvariant, die Ordinalrelation \([o_i]_G^{\text{ord}}\) reihenfolgeabhängig.

Aggregiert gilt:

$$[X]_G = \sum_i [o_i]_G^{\text{ord}}, \qquad P([X]_G)=\frac{|X|}{|G|}.$$

Bedeutung: Der Normalbruch ist die Projektion der Aggregation von Ordinalrelationen; die Doppelbruchrelation vergleicht diese Aggregationen.

Differenzrelation: Definition: Die Differenz zweier Normalbrüche ist nur gültig, wenn eine Teilmengenrelation besteht:

$$P([S]_G) – P([T]_G) = \frac{|S|-|T|}{|G|}, $$

$$\text{falls } T \subseteq S.$$

Bedeutung: Die Differenzrelation verbindet Normalbruch und Kardinalrelation; sie verschwindet, wenn keine Teilmengenrelation gilt.

Produktrelation: Definition: Multiplikation von Normalbrüchen entspricht der Komposition von Vielheitsrelationen:

$$P([X]_G) \cdot P([Y]_H) = P([X]_G \otimes [Y]_H).$$

Bedeutung: Die Produktrelation verbindet Normalbruch und Doppelbruch als kombinierte Projektion zweier Kontexte.

Grenzstruktur im Unendlichen

Sei \(G\) ein relatives Ganzes, dessen Zerlegung nicht vorgegeben ist.

Wir betrachten eine Folge von Zerlegungen \(\left(G_n\right) n \in N\) mit \(\left| G_n \right| = n\). Fixes Teil \(X \subseteq G_1\), das in jeder Zerlegung \(G_n\) enthalten bleibt. Projektion in der Maßschicht:

$$ P \left(\left([X] G_n\right)\right) = \mu(X \mid G_n) = \frac{[X]}{[G_n]} $$

Grenzübergang:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \mu(X \mid G_n) = 0.$$

Identitätsschicht bleibt erhalten:

\( \varepsilon(X \mid G_n)=\) relative Einheit von \(X\) im Kontext \(G_n\).

Interpretation: Das Maß verschwindet im unendlichen Ganzen, die Identität bleibt bestehen. Die relationale Zahl ist damit eine Brücke zwischen Endlichkeit(Maß) und Unendlichkeit (Identität).

Selbstrelation und Unendlichkeit

Mit der Selbstrelation soll die relationale Zahl als Tripel gefasst werden:
$$\mathfrak{R}(X \mid G) = \big( \varepsilon(X \mid G), \; \mu(X \mid G), \; \varepsilon(X \mid X) \big).$$

• \(\varepsilon(X \mid G)\): relative Einheit im Bezugsraum $G$
• \(\mu(X \mid G)\): Maßrelation im Bezugsraum \(G\)
• \(\varepsilon(X \mid X)\): Selbstrelation im Eigenraum \(X\)

Bedeutung: Die Selbstrelation zeigt, dass jede Zahl nicht nur relativ zu einem Ganzen existiert, sondern auch als Einheit zu sich selbst. Die Zahl zugleich als Teil im Ganzen und als Ganzes in sich selbst verstanden.

Relative Unendlichkeit: Aus der Selbstrelation folgt unmittelbar:
$$\varepsilon(X \mid X) = \mu(X \mid X).$$

Da jedes Teil \(X\) zugleich als eigenes Ganzes besteht, bleibt ein unbestimmter Rest immer fortbestehen. Dieser Rest sei die relative Unendlichkeit:
$$\Omega(X) := \text{Fortbestehen des unbestimmten Teils im Eigenraum } X.$$

Eigenschaften:

• Emergenz: Die Unendlichkeit ist keine externe Größe, sondern ergibt sich aus der Relation selbst.
• Relativität: Sie ist nicht absolut, sondern immer relativ zu einem Eigenraum \(X\).
• Integration: Die Selbstrelation integriert die Unendlichkeit, indem sie \(X\) zugleich als Teil und Ganzes bestimmt.

Die relationale Zahl trägt die Unendlichkeit als Teil ihrer Selbstrelation:

$$ \mathfrak{R}(X \mid G) = \big( \varepsilon(X \mid G), \; \mu(X \mid G), \; \varepsilon(X \mid X), \; \Omega(X) \big).$$

• \(\varepsilon(X \mid G)\): relative Einheit im Bezugsraum \(G\)
• \(\mu(X \mid G)\): Maßrelation im Bezugsraum \(G\)
• \(\varepsilon(X \mid X)\): Selbstrelation im Eigenraum \(X\)
• \(\Omega(X)\): relative Unendlichkeit im Eigenraum \(X\)

Bedeutung:

• Klassisch: Unendlichkeit gilt als unteilbar und nicht definierbar.
• Relational: Unendlichkeit ist immanent in jeder Zahl, da ein unbestimmter Rest immer fortbesteht.
• Die Zahl ist damit zugleich endlich (bestimmte Relation) und unendlich (relatives Fortbestehen).
• Die Selbstrelation macht diese Doppelstruktur sichtbar und integriert sie.

Die Unendlichkeit innerhalb der Selbstrelation ist Eigenschaft jeder relativen Zahl

$$\text{Endlichkeit} \;\;+\;\; \text{Unendlichkeit} \;\;=\;\; \text{Selbstrelation}.$$

Ableitung des identitären Maßes: Die Selbstrelation als fundamentale Bestimmung jeder relativen Zahl:

$$\varepsilon(X \mid X) = \mu(X \mid X).$$

Damit trägt jedes Teil \(X\) seine eigene Einheit im Eigenraum, unabhängig von einem äußeren Bezugsraum \(G\).

Projektion als Abbildung: Die Projektion auf ein relatives Ganzes \(G\) wird durch die Maßrelation definiert: Wir definieren eine Abbildung \(\Pi_G\), die die Selbstrelation in den Bezugsraum \(G\) überführt:

$$\Pi_G\big(\varepsilon(X \mid X)\big) = \varepsilon(X \mid G).$$

Damit folgt unmittelbar:

$$\Pi_G\big(\mu(X \mid X)\big) = \varepsilon(X \mid G).$$

Da \(\mu(X \mid X) = \varepsilon(X \mid X)\) gilt, ist die Projektion konsistent:

$$\mathcal{N}_G\big(\mu(X \mid G)\big) = \Pi_G\big(\mu(X \mid X)\big).$$

Strukturregeln: Additivität: Für disjunkte Teile \(X,Y \subseteq G\) gilt

$$\mu(X \cup Y \mid G) = \mu(X \mid G) + \mu(Y \mid G),$$

und identitätsseitig

$$\varepsilon(X \cup Y \mid G) = \varepsilon(X \mid G) + \varepsilon(Y \mid G).$$

Komposition: Für \(X \subseteq G \subseteq H\) gilt

$$\mu(X \mid H) = \mu(X \mid G)\cdot \mu(G \mid H),$$

und durch Normalisierung

$$\mathcal{N}_H(\mu(X \mid H)) = \varepsilon(X \mid H).$$

Die relationale Zahl einer Auswahl \(\mathsf{Part} \subseteq G\) ergibt sich als emergente Einheit:

$$\mathfrak{R}(\mathsf{Part} \mid G) = \sum_{X \in \mathsf{Part}} \varepsilon(X \mid G).$$

Mit der Ableitung aus der Selbstrelation gilt:

$$\varepsilon(X \mid G) = \Pi_G\big(\varepsilon(X \mid X)\big).$$

Damit ist die relationale Zahl letztlich ein Bild der Selbstrelation im Bezugsraum $G$.

Unendlichkeit: Die Selbstrelation trägt ein unbestimmtes Moment, das als relative Unendlichkeit verstanden wird:

$$ \Omega(X) := \text{Fortbestehen des unbestimmten Teils im Eigenraum } X.$$

Unter Projektion erscheint dieses Moment als Grenzprozess:

$$ \lim_{n \to \infty} \mu(X_n \mid G) = \mu(X \mid G), \quad
\lim_{n \to \infty} \mathcal{N}_G(\mu(X_n \mid G)) = \varepsilon(X \mid G).$$

Damit bleibt die Unendlichkeit nicht ausgeschlossen, sondern relational integriert. Das identitäre Maß in der Projektion auf reelle Zahlen ist kein autonomes Postulat, sondern das Bild der Selbstrelation unter Projektion und Normalisierung:

$$\boxed{\;\mathcal{N}_G\big(\mu(X \mid G)\big) = \Pi_G\big(\varepsilon(X \mid X)\big) = \varepsilon(X \mid G)\;}$$

Die reellen Maßwerte \(\mu(X \mid G)\) sind die Koordinaten der relationalen Einheit.

Erhalt des Komplements: \(C=G\setminus X\) bezeichnet das Komplement. Es sei \(\alpha([X]_G)\) der relationale Anteil \(\alpha\), ein rein kontextabhängiger, nicht normierter Parameter.

Es folge die Grundgleichung mit:

$$\mathfrak{R}(X\mid G)\;=\;\alpha([X]_G)\cdot\frac{|G|}{|X|}\;=\;r,$$

wobei \(r\) ein formaler Relativwert ist.

Tripelnotation mit Erhalt des Komplements: Zur klaren Trennung von Relation, Teilgröße und Komplement führen wir die Tripelnotation:

$$\mathcal{R}(X\mid G)\;=\;\big(\,\alpha([X]_G)\;,\;|X|\;,\;C\,\big)$$

ein. Die Tripelnotation ist äquivalent zur Produktform durch die Identität

$$ \alpha\cdot|G|=r\cdot|X|,$$

Relationalität: \(\alpha([X]_G)\) ist nur im Kontext \(G\) definiert; Aussagen über \(\alpha\) sind stets relativ zu \(G\).

Umformbarkeit: Solange die benötigten Inversen existieren, sind die elementaren Umformungen zulässig:

$$ \alpha = r\cdot\frac{|X|}{|G|},$$
$$|X|=\frac{\alpha}{r}\cdot|G|$$
$$|G|=\frac{r}{\alpha}\cdot|X|.$$

Ist ein Inverser nicht vorhanden, bleibt die multiplikative Form \(\alpha\cdot|G|=r\cdot|X|\) gültig.

Kontinuum: Im Kontinuum (z.B. einer Strecke, einer Fläche, einem Volumen) sei die Anzahl der Punkte in \(G\) unendlich und unzählbar. Daher muss die Projektionsfunktion \(P\) angepasst werden, um die Identität \(\varepsilon(X \mid G)\) weiterhin sinnvoll zu quantifizieren.

Im Kontinuum wird die relationale Zahl \([X]_G\) über das Maßverhältnis:

$$ \frac{\mu(X)}{\mu(G)} $$

projiziert. Hier sei \(\mu\) das entsprechende geometrische Maß.

Die Relationale Identität im Kontinuum \(\varepsilon(X \mid G)\) bleibt weiterhin bestehen, aber ihr Inhalt ändert sich. Die Projektion liefert den Wert, verliert aber die Form und Lage.

Differenzierung: Die Forderung nach der Integrationsumkehr und der Reaktionsdifferenz erhält im Kontinuum eine direkte mathematische Entsprechung:

Integration (Iteration): Die Aggregation von unendlich vielen infinitesimalen Teilen \(dx\) zu einem Ganzen \(X\) ist die klassische Integration \( \left(\int dx\right) \).

Differenzierung (Umkehrung): Die Umkehrung der Aggregation ist die Differenzierung \(\frac{d}{dx}\).

Die Anpassung an das Kontinuum erfordert, dass die relationale Algebra eine Operation definiert, die logisch äquivalent zur Differenzierung ist und die Identität \(\varepsilon(X \mid G)\) bei der Zerlegung bewahrt.

Die Ableitung:

$$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) – f(x)}{\Delta x}$$

kann als die Rate der Veränderung des relativen Ganzen interpretiert werden: Relation der Veränderung: Die Differenz \(f(x + \Delta x) – f(x)\) ist die Differenzrelation \([\Delta Y]_G\).

Infinitesimales Ganzes: Der Nenner \(\Delta x\) ist die infinitesimale Veränderung des relativen Ganzen.Die Änderungsrate: \(\frac{dy}{dx}\) ist die relative Änderungsrate der Identität \([Y]_G\) im Verhältnis zur Änderung des Ganzen \([X]_G\).

Relationale Bedeutung: Die Ableitung ist die Projektion der lokalen Reaktionsdifferenz der relationalen Identität \(\varepsilon(Y \mid G)\) auf die Maßebene. Sie zeigt, wie stabil die Relation \([Y]_G\) ist, wenn der Kontext \(G\) sich infinitesimal ändert.

Die Ableitung liefert den lokalen Eigenwert \(\left(\lambda_{lokal}\right)\) der relationalen Veränderung. An Extrempunkten (Nullstellen der Ableitung) wird die Änderungsrate Null. Dies ist ein lokaler Fixpunkt (Gleichgewichtszustand) der relationalen Symmetrie.

Das Integral ist die Projektion der Gesamt-Identität \([G]_{Total}\) im Intervall, gebildet durch die Integration aller elementaren, unzählbar vielen relationalen Einheiten \(\varepsilon(\Delta X \mid G)\).

Das Integral ist die relationale Aggregation. Die Integrationsumkehr ist somit die Differenzierung.

Fundamentalsatz: Der Fundamentalsatz der Analysis:

$$(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) – F(a)),$$

spiegelt relational wider, dass die Gesamt-Relation des Ganzen \(G\) (Integral) durch die Differenzrelation an den Rändern \(a\) und \(b\) bestimmt wird. Das Resultat ist immer eine Differenz der relationalen Identitäten an den Grenzen.

Im Kontinuum ist das relative Ganze \(G\) nicht nur die Gesamtgröße, sondern auch der Bezugsrahmen (“das Koordinatensystem”), in dem \(X\) als der relationale Teil existiert, definiert durch sein Gesamtmaß \(\mu(G) \) und seinen Ursprung \(O_G.\)

Der Relationale Teil \(\left(X\right)\): Das Objekt der Betrachtung, definiert durch sein Maß \(\mu(X)\) und sein Zentrum \(O_X\).

Lage des Ganzen: Zuerst muss die Lage des Ganzen \(G\) im absoluten Raum (dem Über-Kontext K, z.B. \(\mathbb{R}^n)\) definiert werden. Dies geschieht durch einen Ursprungspunkt \(O_G\) und eine Orientierung (Achsen).

Relationale Forderung: Die Lage von \(X\) ist die Relation zwischen \(X’s\) eigenem Ursprungspunkt \(O_X\) und dem Ursprungspunkt \(O_G\) des Bezugsrahmens.

Die Definition der Lage \(\left(L\right)\): Die Lage \(L\left(X \mid G\right)\) ist eine zusätzliche relationale Information zur reinen Größe \(\varepsilon(X \mid G)\). Sie wird durch eine Vektor-Relation ausgedrückt:

$$L(X \mid G) = [O_X – O_G]$$

Die Relationale Identität \([X]_G\) (Eigenvektor): Die vollständige Definition des Teils, bestehend aus einem Tupel:

$$[X]_G = (\varepsilon(X \mid G), L(X \mid G))$$

Größe \(\left(\varepsilon(X \mid G)\right)\): Die reine Proportion (Eigenwert), projiziert als:

$$ P(\varepsilon) = \frac{\mu(X)}{\mu(G)} $$

Eigenwertsynthese der Relationsabbildung und reziproke Relationsumkehr

Die relationale Zahl in einer erweiterten Form:

$$\mathfrak{R}(X\mid G)\;=\;\alpha([X]_G)\cdot\frac{|G|}{|X|}\;=\;r, + U$$

Mit U als unbestimmter Teil, der bei richtungsabhängigen Annäherungen verbleibt.

Unbestimmter Teil: Ist die Approximation nicht richtungsunabhängig, so definieren wir den unbestimmten Teil U als die Menge (oder formale Summe) der Beiträge, die von der Wahl der Annäherungsrichtung abhängen. Richtungsunabhängigkeit liegt vor, wenn die Relation zwischen \(X\) und \(G\) symmetrisch oder homogen ist. Beispiele: Gleichverteilung, Proportionale SkalierungIsotrope, Struktur. Formal kann U als Element eines geeigneten Vektorraums der Restmodi notiert werden.

Unter der Annahme es existiere eine vollständige Maßprojektion, als wenn die relationale Größe vollständig auf ein klassisches Maß projiziert wird, und keine zusätzliche strukturelle Information berücksichtigt wird, dann ist die Abbildung per Konstruktion richtungsunabhängig. Das ist der Grenzfall, in dem relationale Zahlen auf gewöhnliche rationale Zahlen kollabieren. In diesen Fällen fällt U weg. Die in diesem Beitrag genannten Rechenoperationen vereinfachen sich in diesem Fall auf diesen Teil, dies entspricht im weitesten Sinne dann den Rechenoperationen von klassischen Zahlendefinitionen.

Eigenwertsynthese der linearen Annäherung: Sei L linear und diagonaliserbar auf einem Raum V . Dann existiert eine Darstellung

$$ L= \sum_{I \in i} \lambda_i \Pi_{v_i}.$$

wobei \(\lambda_i\) Eigenwerte und \(\Pi_{v_i}\) die Projektionen auf die zugehörigen Eigenmoden \(v_i\) sind. Die Eigenwertsynthese einer Relation besteht darin, die Wirkung von L auf dominante (richtungsunabhängige) Modi und nichtdominante (richtungsabhängige) Modi zu trennen.

Zerlegung in dominante und nichtdominante Modi: Sei \(V =V_{dom} ⊕ V_{rest}\) eine Zerlegung in den von Eigenwerten mit größter Wirkung erzeugten Unterraum \(V_dom\) und den Rest \(V_rest\). Dann lässt sich für die lineare Näherung L schreiben

$$L = L_{dom} + L_{rest}, $$

$$ L_{dom} = \sum_{I \in i} \lambda_i \Pi_{v_i}, $$

$$ L_{rest} = \sum_{I \in i} \mu_i \Pi_{w_i}, $$

und der unbestimmte Teil U wird durch \(L_{rest}\) beschrieben.

Die Zerlegung folgt aus der Spektralzerlegung von L. Dominante Eigenwerte sind diejenigen, deren Beträge die asymptotische Wirkung bestimmen; der Rest enthält alle Modi, deren Beiträge bei bestimmten Richtungen variieren. Die Projektion auf \(V_{rest}\) liefert genau die richtungsabhängigen Anteile, die wir als U identifizieren.