Allgemeine Leistungserwartung – Und dynamischer Task-Time-Quality-Index

Einleitung

Der Mensch ist an Leistungen gebunden, um leben, und um überleben zu können. Das subjektive Handeln sollte damit im Einklang zu den objektiven Voraussetzungen stehen, um nach Möglichkeit als Menschen noch lange Zeiten überdauern zu können. Die allgemeine Leistungserwartung, und die tatsächliche Leistungsmöglichkeit wird oftmals in ein wirtschaftliches Spannungsverhältnis gestellt. Dabei widersprechen sich eigentlich nur offenkundig falsche politische Forderungen nach Mehrleistung, grandioser wirtschaftlicher Entwicklung, innerhalb von realen wirtschaftlichen Voraussetzungen, um als Menschen überhaupt noch gemeinsame Ziele erreichen zu können. Durch die Einführung der allgemeinen Leistungserwartung, und des dynamischen Task-Time-Quality-Index soll ein erster Ansatz gesetzt werden, um der Problematik auf den Grund gehen zu können.

Allgemeine Leistungserwartung

Die Allgemeine Leistungserwartung (ALE) einer Einheit \(i\) zum Zeitpunkt \(t\) lässt sich als Verhältnis^[1]Siehe: Gewichteter Durchschnitt zwischen tatsächlich erbrachter Leistung und normativ erwarteter Leistung formulieren:

\(\mathrm{ALE}_i(t) = \frac{W_i^{\mathrm{real}}(t)}{W_i^{\mathrm{norm}}(t)}\)

Dabei bezeichnet: \(W_i^{\mathrm{real}}(t)\): objektiv gemessener Realwert der Leistung (z.,B. Output, Erfüllungsgrad), \(W_i^{\mathrm{norm}}(t)\): normierter Erwartungswert (z.,B. Sollgröße, Benchmark)

Kategorisierung und Gewichtung

Das Gesamtsystem wird in \(K\) Kategorien zerlegt, wobei jede Kategorie \(k\) einen eigenen Real- und Normwert besitzt.

Die Aggregation erfolgt über Relevanzgewichte \(\rho_k\);

\(W_i^{\mathrm{real}}(t) = \\\sum_{k=1}^K \rho_k \cdot W_{i,k}^{\mathrm{real}}(t), \\ \quad W_i^{\mathrm{norm}}(t) = \sum_{k=1}^K \rho_k \cdot W_{i,k}^{\mathrm{norm}}(t)\)

Dynamische Normierung. Die normierten Werte jeder Kategorie berücksichtigen zeitliche Einschränkungen und Verlustfaktoren;

\(W_{i,k}^{\mathrm{norm}}(t) = E_k(t) \cdot \left(1 – \kappa_k(t)\right) \cdot \left(1 – \frac{V_k(t)}{E_k(t)}\right)\)

mit:\(E_k(t)\): Erhaltungswert der Kategorie \(k\), \(\kappa_k(t)\): relative Fristverkürzung, \(V_k(t)\): Verlustwert

Zusammengesetzte ALE-Formel

Setzt man die Realwerte als Ist-Erfüllung \(\mathrm{Ist}_k(t)\), ergibt sich:

\(\mathrm{ALE}_i(t) = \frac{\sum_{k=1}^K \rho_k \cdot \mathrm{Ist}_k(t)}{\sum_{k=1}^K \rho_k \cdot E_k(t) \cdot \left(1 – \kappa_k(t)\right) \cdot \left(1 – \frac{V_k(t)}{E_k(t)}\right)}\)

Normierung zum Querindex

Unter der Annahme, dass der Nenner normiert ist (z.\,B. \(\sum_k \rho_k = 1\)), vereinfacht sich die Formel zum gewichteten Mittelwert:

\(\mathrm{ALE}_i(t) = \frac{\sum_{k=1}^K \rho_k \cdot \left( \frac{\mathrm{Ist}_k(t)}{E_k(t)} \cdot \left(1 – \kappa_k(t)\right) \cdot \left(1 – \frac{V_k(t)}{E_k(t)} \right) \right)}{\sum_{k=1}^K \rho_k}\)

Dies entspricht dem dynamisch gewichteten Querindex, der die Leistungserwartung über alle Kategorien hinweg integriert.

Die Allgemeine Leistungserwartung (ALE) bündelt existenz- und teilhaberelevante Soll-/Ist-Beziehungen über Personen-, Schuld- und Verfahrensverhältnisse hinweg zu einem Querindex. Sie priorisiert die Perspektive größter gesellschaftlicher Erwartungen (Überlebensfähigkeit, Grundbedarfsdeckung) und ergänzt diese um Teilhabe- und Pflichterfüllungsdimensionen (Erwerbseinkommen, Steuer-/Beitragszahlungen, verfahrensrechtliche Mitwirkung). Eine hohe ALE signalisiert erfüllte Erwartungen und ermöglicht den Ausschluss eines Deliktsverdachts mit hoher Bestimmtheit; eine niedrige ALE weist auf Eingrenzungsbedarf hin.

Für Einheit (Person, Haushalt, Organisation) \( (i) \) und Kategorie \(k \in \mathcal{K} \) sei \( Ist_{i,k} \) der beobachtete Wert, \( E_{i,k} \) der erwartete Referenzwert (normativ-empirisch), \( \rho_k>0 \) das Relevanzgewicht.

Querindex der allgemeinen Leistungserwartung: Es sei;

\( \mathrm{ALE}_i=\frac{\sum_{k \in \mathcal{K}} \rho_k \cdot \frac{\mathrm{Ist}_{i,k}}{E_{i,k}}}{\sum_{k \in \mathcal{K}} \rho_k} \quad \text{mit} \quad \frac{\mathrm{Ist}_{i,k}}{E_{i,k}} \in [0,\infty) \)

Kategoriespezifischer Soll-/Ist-Abgleich. Für jede Kategorie sei die zusätzlich normierte Abweichung;

$$ \Delta^{(k)}_i = \frac{\mathrm{Ist}_{i,k}}{E_{i,k}} – 1 $$ und eine Schwelle \(\tau_k \ge 0\) definiert. Ein „gestörtes Verhältnis“ liegt vor, wenn \(|\Delta^{(k)}_i|>\tau_k\).

Risikofunktion^[2]Siehe: Logistische Funktion (Sigmoid), Linearkombination, Vgl. Lineare Algebra Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen, 8., aktualisierte Auflage, Springer von … Continue reading mit ALE und Kategorien;

\( \mathcal{S}_i = \\ \sigma\!\left(\eta_0+ \eta_1\,(1-\mathrm{ALE}_i)+ \\ \sum_{k \in \mathcal{K}} w_k \cdot \max\{|\Delta^{(k)}_i|-\tau_k,\,0\} + \\ \eta_2\,\min(\Delta Q_i,0) + \eta_3\,\mathrm{CashShare}_i\right), \\ \sigma(x)=\frac{1}{1+e^{-x}} \)

• \( \Delta Q_i \): Abweichung einer relevanten Quote (z. B. Steuerquote) von Referenz
• \( CashShare_{i} \): Bargeld-/Kassenanteil als Risikoindikator
• \( \eta_{\bullet}, w_k \): zu kalibrierende Parameter

Ausschluss- vs. Eingrenzungsentscheidung;

$$ \text{Ausschluss (niedriges Risiko), falls } \mathrm{ALE}_i \ge \theta_{\mathrm{ALE}} \ \land\ \forall k:\ |\Delta^{(k)}_i|\le \tau_k \ \land\ \mathcal{S}_i<\theta_{S}$$

$$ \text{Eingrenzung (hohes Risiko), falls } \mathrm{ALE}_i < \theta_{\mathrm{ALE}}\ \lor\ \exists k:\ |\Delta^{(k)}_i|>\tau_k \ \lor\ \mathcal{S}_i\ge \theta_{S} $$

Dynamischer Task-Time-Quality-Index

Unter dem Aspekt der allgemeinen Leistungserwartungen soll auf die Leistungsbedingungen eingegangen werden. Dazu soll der dynamische Task-Time-Quality-Index eingeführt werden.

Es sei;

$$ TTQ_k(T) = \\ \alpha_{TTQ} (\frac{T}{T_{opt}}) + \beta_{TTQ} Q_k – \delta_{TTQ} ((\frac{T}{T_{opt}} – 1)^2)$$

Dieser Index beschreibt das Verhältnis zwischen aufgewendeter Zeit, Qualitätsmaß und Effizienzverlusten bei Über- oder Unterpufferung. Das Ergebnis zeigt, dass moderate Zeitpuffer den Qualitätswert steigern, während zu starke Abweichungen von der Optimalzeit den Ertrag mindern.

Hierbei sind; \( \alpha_{TTQ}; \beta_{TTQ}; \delta_{TTQ} \) Gewichtungs- und Abnahmefaktoren, \( T \) die Zugewiesene Zeit, \( T_{opt} \) ideal benötigte Zeit, \( Q_k \) Konstantes Qualitätsmaß \( (0–1) \)

Es sei;

• \( T > 0, ; T_{opt} > 0 \) (Zeit und Idealzeit)
• \( Q_{k} \in \left[0,1\right] \) (konstantes Qualitätsmaß)
• \( \alpha_{TTQ}, \beta_{TTQ}, \delta_{TTQ} \) (Parameter); für eine typische Interpretation sei \( \delta_{TTQ} > 0 \) (Koeffizient für Abweichungen)

Zur Vereinfachung erfolgt die Substitution \( x=\frac{T}{T_{opt}} \);

$$ f \left(x\right) = TTQ_{k} \left(T\right) = \alpha_{TTQ} x + \beta_{TTQ} Q_{k} – \frac{\delta_{TTQ}}{2} \left(x – 1 \right)^2 $$

Der stationäre Punkt (optimaler Zeitfaktor) erfordert die Ableitung nach \( x \);

$$ f’ \left(x\right) = \alpha – \delta \left(x-1\right) $$

Setzte \( f’ \left(x\right) = 0 \)

$$ \alpha_{TTQ} – \delta_{TTQ} \left(x-1\right) = 0 \rightarrow x^*= 1 + \frac{\alpha_{TTQ}}{\delta_{TTQ}} $$

Damit ist das zu \( T \) zugehörige Optimum;

$$ T^*= T_{opt} \left(1 + \frac{\alpha_{TTQ}}{\delta_{TTQ}}\right) $$

Zweite Ableitung;

$$ f”\left(x\right)= – \delta_{TTQ} $$

Für \( \delta_{TTQ} > 0 \) ist \( f”\left(x\right)=0 \) überall – \( x* \) ist ein globales Maximum der quadratischen Funktion auf \( \mathbb{R} \). Eingeschränkt auf \( x > 0 \) gilt das Gleiche.

Maximaler Indexwert, setze \( x^* – 1 = \frac{\alpha_{TTQ}}{\delta_{TTQ}} \) in \( f\);

$$ f^* \left(x\right)= \alpha_{TTQ} \left( 1 + \frac{\alpha_{TTQ}}{\delta_{TTQ}} \right) + \beta_{TTQ} Q_{k} – \frac{\delta_{TTQ}}{2} \left( \frac{\alpha_{TTQ}}{\delta_{TTQ}}\right)^2 $$ $$ = \alpha_{TTQ} + \frac{\alpha_{TTQ}^2}{\delta_{TTQ}} + \beta_{TTQ} Q_{k} – \frac{\alpha_{TTQ}^2}{2 \delta_{TTQ}} $$ $$ = \alpha_{TTQ} + \beta_{TTQ} Q_{k} + \frac{\alpha_{TTQ}^2}{2 \delta_{TTQ}} $$

Es folgt;

$$ TTQ_{k} \left(T^*\right) = \alpha_{TTQ} + \beta_{TTQ} Q_{k} + \frac{\alpha_{TTQ}^2}{2 \delta_{TTQ}} $$

Interpretation:

• Über \( \beta_{TTQ} \) wird der Einfluss des Qualitätsmaßes \( Q_{k} \) skaliert. Und aus \( \frac{\partial TTQ}{\partial TTQ_{k}} = \beta_{TTQ} \) ist ein linear, monotoner Verlauf gegeben
• \( \alpha_{TTQ} \) ist ein linearer Anreiz für mehr zugewiesene Zeit \( T^*=T_{opt} \left( 1 + \frac{\alpha_{TTQ}}{\delta_{TTQ}} \right) \)
• Zusätzlicher quadratischer Term schließt mit der Aussage “moderate Zeitpuffer steigern \( Q_{k} \)

Zusammenhang zwischen dem Dynamischen Task–Time–Quality-Index (TTQ) und der Allgemeinen Leistungserwartung (ALE)

Der Dynamische Task–Time–Quality-Index (TTQ) beschreibt die zeitlich gewichtete Leistungsfähigkeit unter Berücksichtigung von Aufgabenkomplexität, Fristdruck und Qualitätsanforderung. Die Allgemeine Leistungserwartung (ALE) hingegen ist ein normativer Erwartungswert, der vorgibt, welche Leistung unter gegebenen Rahmenbedingungen als angemessen gelten können. Mit externen Störgrößen für eine additive Abweichung sei;

$$ \text{ALE}(t) = \phi \cdot \text{TTQ}(t) + \epsilon(t) $$

• \( \phi \): normativer Skalierungsfaktor
• \( \epsilon\left( t \right) \): systematische Abweichung (z.B. durch strukturelle Überforderung, Kontextstörungen)

Ein stabiler TTQ-Index über der Schwelle \(\theta_{\text{TTQ}}\) ist ein Indikator für die Erfüllbarkeit der ALE. Sinkt der TTQ unter diese Schwelle, steigt die Wahrscheinlichkeit einer ALE-Verletzung signifikant.

Die Korrelation zwischen TTQ und ALE kann empirisch über Regressionsanalyse oder Schwellenlogik geprüft werden.

Schwellenmodell: Die Wahrscheinlichkeit, dass die ALE erfüllt wird, kann als logistische Funktion des \(TTQ\)-Index modelliert werden:

$$ P(\text{ALE erfüllt} \mid \text{TTQ}) = \sigma\big(\alpha + \beta \cdot \text{TTQ}(t)\big) $$

• \( \sigma \left( x \right) = \frac{1}{1 + e^{-x}} \): logistische Sigmoidfunktion
• \( \alpha \): Basiswert (z.,B. strukturelle Erwartung)
• \( beta \): Sensitivität gegenüber TTQ

Der \(TTQ\)-Index ist ein dynamischer Prädiktor für die Erfüllung der Allgemeinen Leistungserwartung. Ein signifikanter Zusammenhang besteht, wenn \(\beta > 0\) und die Varianz von \(\epsilon(t)\) gering ist. Damit lässt sich TTQ als operative Steuergröße in leistungsbezogenen Evaluationsmodellen nutzen.