Segmentierte Geldwerte – Konsistenz und Kapazität

Der segmentierte Geldwert ist eine Bewertungsgröße, die den Wert einer Handlung, Transaktion oder Verpflichtung in Abhängigkeit von zeitlichen, kapazitativen und verlustbezogenen Faktoren beschreibt.
Er dient dazu, den effektiven Wert eines Nominalbetrages unter realistischen Bedingungen abzubilden.

Er umfasst die vier zentrale Komponenten:

• Nominalwert \(V(t)\): Der vertraglich oder wirtschaftlich festgelegte Ausgangswert.
• Verlustanteil \(L(t)\): Anteil an Wertminderung durch Reibungen, Ineffizienzen, Kosten oder Risiken.
• Kapazität \(K(t)\): Maß für die tatsächliche Handlungs- und Verarbeitungskraft, die bestimmt, in welchem Umfang der Nominalwert realisiert werden kann.
• Fristdeformation \(\varphi(\Delta T)\): Zeitabhängiger Faktor, der den Wertverlust durch Abweichungen von einer Sollfrist beschreibt.

Es sei;

\(G(t) = \) \(V(t)\cdot\Bigl(1-\tfrac{L(t)}{100}\Bigr)\cdot\tfrac{K(t)}{100}\cdot \varphi(\Delta T).
\)

Der Geldwert wird nicht absolut, sondern für bestimmte Zeit- oder Handlungseinheiten (Segmente) berechnet. Er verändert sich mit Zeit, Kapazität und Verlustfaktoren. Er wird am Konsistenzminimum gespiegelt, das die Grenze zwischen ausreichender und unzureichender Werthaltigkeit markiert.

Der segmentierte Geldwert ist derjenige Wert, der sich aus einem Nominalbetrag unter Berücksichtigung von Verlusten, Kapazitäten und zeitlichen Abweichungen ergibt und der in einem bestimmten Segment den effektiven ökonomischen Nutzen oder die rechtlich relevante Werthaltigkeit einer Handlung oder Verpflichtung ausdrückt.

Präzisierung: Die Transformation des Nominalwertes \(V(t)\) in den effektiven segmentierten Geldwert \(G(t)\) erfolgt in drei Schritten:

\(
V(t) \;\xrightarrow{\;-\;L(t)\;}\; V(t)\cdot\Bigl(1-\tfrac{L(t)}{100}\Bigr)
\;\xrightarrow{\;\times K(t)\;}\; V(t)\cdot\Bigl(1-\tfrac{L(t)}{100}\Bigr)\cdot\tfrac{K(t)}{100}
\;\xrightarrow{\;\times \varphi(\Delta T)\;}\; G(t).
\)

Der verhältnismäßig veränderte Geldwert wird segmentweise berechnet nach;

\(G(t) =\) \(V(t)\cdot\Bigl(1-\tfrac{L(t)}{100}\Bigr)\cdot\tfrac{K(t)}{100}\cdot\varphi\!\bigl(\Delta T(t)\bigr), \)

\(\varphi(\Delta T) \;=\; \frac{1}{1+\alpha\cdot|\Delta T|^{\beta}}, \quad \alpha > 0, \; \beta > 1.\)

Der Nominalwert ist die Ausgangsbasis, der Verlustanteil reduziert diesen Wert um unvermeidbare Abzüge. Die Kapazität bestimmt, welcher Teil des reduzierten Wertes tatsächlich realisiert werden kann. Die Fristdeformation wirkt als zeitabhängiger Korrekturfaktor, der den Wert in Abhängigkeit von der Einhaltung oder Überschreitung der Sollfrist weiter mindert.

Der effektive Wert ist stets kleiner oder gleich dem Nominalwert. Verlust, Kapazität und Fristdeformation wirken multiplikativ und kumulativ. Das Modell erlaubt eine objektive, segmentorientierte Bewertung, die sowohl ökonomische als auch rechtliche Aspekte integriert.

Sensitivität;

• Kleinere \(\alpha\) oder \(\beta\) schwächen die Dämpfung \(\varphi(\Delta T)\) und erhöhen \(G(t)\) bei großen \(|\Delta T|\)
• Höhere Verluste \(L(t)\) oder geringere Kapazitäten \(K(t)\) senken \(G(t)\) proportional (multiplikativ).
• Bei \(\Delta T=0\) gilt \(\varphi(0)=1\); dann reduziert sich \(G(t)\) auf den Verlust- und Kapazitätseinfluss.

Konsistenzminimum aus segmentierten Geldwerten

Das Konsistenzminimum bezeichnet den niedrigsten Geldwert, der unter Berücksichtigung von Verlust, Kapazität und Fristdeformation noch als normativ tragfähig gilt. Operativ definieren wir:

\(G_{\min}^{\mathrm{cons}} = \overline{G} -\sigma_G,\)

wobei \(\overline{G}\) der arithmetische Mittelwert und \(\sigma_G\) die Standardabweichung der segmentierten Geldwerte \(G(t)\) über alle Segmente ist.

Erforderliches Konsistenzminimum für einheitlichen Geldwertausgleich

Problemformulierung: Ein Konsistenzminimum \(C_{\min}\) soll so gewählt werden, dass die segmentierten Geldwerte \(G(t)\) durch die Regel;

\(G_{\mathrm{adj}}(t) = \max\{\,G(t),\, C_{\min}\,\} \)

einheitlich (identisch) werden.

Notwendige und hinreichende Bedingung: Einheitlichkeit (alle Segmente identisch) tritt genau dann ein, wenn

\(C_{\min} \;=\; \max_{t}\, G(t).\)

Begründung: Für \(C_{\min}=\max G(t)\) gilt für alle Segmente \(G_{\mathrm{adj}}(t) = \max\{G(t), \max G\} = \max G\). Für jedes kleinere \(C_{\min}<\max G\) bleiben Segmente mit \(G(t)>\!C_{\min}\) strikt größer als angehobenene Segmente, also nicht einheitlich.

Erforderliche Anhebungssummen je Segment

Für jedes Segment ist die notwendige Anhebung

\(\Delta(t) \;=\; \max\{\,0,\, C_{\min}^{\star}-G(t)\,\}.\)

Paarweiser Ausgleichswert: Für zwei Segmente (i,j) sei der zueinander liegende (paarweise) Ausgleichswert die notwendige Anhebung, um beide ohne Absenkung auf das gleiche Niveau zu heben:

\(D_{ij}\;=\;\bigl|\;G_i – G_j\;\bigr| \quad \text{mit Zielniveau } \max{G_i,G_j}.\)

Größter paarweiser Ausgleich: Der größte Unterschied (und damit größte zueinander liegende Ausgleichswert) ergibt sich zwischen dem kleinsten und dem größten Segmentwert:

\(\min G \;=\;\min_t G(t), \max G \;=\;\max_t G(t),\)

\(D_{\max}\;=\;\max G – \min G.\)

Einheitlicher Ausgleichswert (ohne Absenkung): Soll nicht nur paarweise, sondern \emph{einheitlich} über alle Segmente ohne Senkung ausgeglichen werden, ist das kleinste gemeinsame Zielniveau

\(C_{\min}^{\star}=\max_t G(t).\)

Die dafür notwendige Gesamtanhebung ergibt sich zu

\(\sum_t \max{0,\,C_{\min}^{\star}-G(t)}.\)

Allgemeine Formeln für Ausgleichswerte bei unendlich vielen Segmenten

Notation: Sei \(I\) eine (endliche, abzählbar unendliche oder allgemeine) Indexmenge und

\(G:I\to\mathbb{R}_{\ge 0},\qquad i\mapsto G_i.\)

Für die kontinuierliche Verallgemeinerung sei ein Maßraum \( (X,\mathcal{A},\mu) \) gegeben und

\(G:X\to\mathbb{R}_{\ge 0}.\)

Paarweiser Ausgleichswert

\(D(i,j);=;\bigl|\,G_i-G_j\,\bigr|,\qquad i,j\in I.\)

Größter paarweiser Ausgleich

\(D_{\max}=\sup_{i,j\in I}\bigl|\,G_i-G_j\,\bigr|=\sup_{i\in I}G_i -\inf_{j\in I}G_j.\)

Einheitlicher Ausgleichswert (ohne Absenkung)

\(C_{\min}^{\star} = \sup_{i \in I} G_i, \)

\(U(I) = \sum_{i \in I} \max \bigl(0,\; C_{\min}^{\star} – G_i \bigr).\)

Gewichtete Variante (diskret): Seien Gewichte \(w:I\to[0,1]\) mit \(\sum_{i\in I}w_i=1\),

\(U_w(I) = \sum_{i \in I} w_i \,\max\bigl(0,\; C_{\min}^{\star} – G_i \bigr),\) \(
D_{w,\max} = \sup_{i,j \in I} w_{ij}\,\bigl| G_i – G_j \bigr|\)

wobei \(w_{ij}\in[0,1]\) eine paarweise Gewichtung ist.

Abgleich des segmentierten Geldwerts mit realer Handlungswahrscheinlichkeit

Das Modell des segmentierten Geldwertes

\(G(t) = \) \( V(t)\,\Bigl(1-\tfrac{L(t)}{100}\Bigr)\), \(\tfrac{K(t)}{100}\,\varphi(\Delta T(t)),\)

soll mit der realen Handlungswahrscheinlichkeit in einem frei wählbaren Bemessungszeitraum überlagert werden.

Handlungswahrscheinlichkeit: Die reale Handlungswahrscheinlichkeit wird durch folgende Größen beschrieben:

• Normierte Aktionssumme über alle Kategorien im Bemessungszeitraum \(B\): \(H_{\mathrm{base}} = \sum_{c} R_c.\)
• Segmentlänge in Stunden (beliebig wählbar): \(h_i \in \mathbb{R}_{>0}.\)
• Fraktion der Handlungen im Segment relativ zum Bemessungszeitraum: \(H_i = \frac{h_i}{B}\cdot H_{\mathrm{base}}, \qquad B \in \mathbb{R}_{>0}.\)

Gewichteter Geldwert: Der gewichtete Geldwert ergibt sich allgemein zu:

\(\widetilde{G}_i = G_i \cdot H_i.\)

Der Bemessungszeitraum \(B\) ist frei wählbar (z.\,B. 24h, 48h, 168h). Damit wird die Handlungswahrscheinlichkeit flexibel auf unterschiedliche Betrachtungshorizonte skaliert.

• Für längere Segmente steigt \(H_i\) proportional zu \(h_i\), sodass \(\widetilde{G}_i\) überproportional anwächst.
• Kurze Segmente weisen trotz stabiler \(G_i\) nur geringe \(\widetilde{G}_i\) auf, da die Handlungswahrscheinlichkeit dort kleiner ist.
• Der gewichtete Geldwert \(\widetilde{G}_i\) verbindet die normative Bewertung \(G_i\) mit dem realen Aktivitätsvolumen \(H_i\) im gewählten Bemessungszeitraum.
• Segmente mit niedriger Kapazität und hohen Verlusten können durch die kumulierte Handlungswahrscheinlichkeit dennoch hohe \(\widetilde{G}_i\) aufweisen, was auf strukturelle Risiken bei langen Fristen hinweist.

Schlussfolgerung: Der Abgleich zeigt: Der segmentierte Geldwert allein misst die normative Reife eines Segments. Erst durch die Überlagerung mit der realen Handlungswahrscheinlichkeit im frei wählbaren Bemessungszeitraum entsteht ein operationalisierter Steuerungsbereich, der die tatsächliche Aktivitätsdynamik und Belastung pro Segment abbildet. Damit können Delikts- oder Schuldverhältnisse für beliebige Segmentzonen und beliebige Bemessungszeiträume präzise nach Zeit- und Handlungslast priorisiert und konsistent gesteuert werden.

Segmentierter Geldwert nach Deliktsart, Schuldverhältnis und Schadensart

Der segmentierte Geldwert \(G(t)\) soll nicht nur zeitlich, sondern auch inhaltlich differenziert werden: Je nach Deliktsart, Schuldverhältnis und Schadensart wirken unterschiedliche Modellgrößen (Verlustanteil \(L\), Kapazität \(K\), Fristdeformation \(\Delta T\)) auf den Geldwert. Daher soll \(G(t)\) in thematische Segmente \(G_{c,s}(t)\) unterteilt werden, wobei \(c\) die Delikts-/Schuldkategorie und \(s\) die Schadensart bezeichnet.

Es sei;

\(G_{c,s}(t) = \) \( V_{c,s}(t) \cdot \left(1 – \frac{L_{c,s}(t)}{100}\right) \cdot \frac{K_{c,s}(t)}{100} \cdot \varphi\!\left(\Delta T_{c,s}(t)\right)\)

Der segmentierte Geldwert lässt sich präzise nach Deliktsart, Schuldverhältnis und Schadensart differenzieren. Die Modellgrößen \(L\), \(K\), \(\Delta T\) wirken je nach Kategorie unterschiedlich stark, so entsteht ein konsistentes Bewertungsraster, das sowohl juristisch als auch ökonomisch belastbar ist und die Grundlage für Priorisierung, Risikoanalyse und normativen Ausgleich bildet.

Steuervergleich im Segmentabgleich unter Berücksichtigung von Konsistenzminimum, Fristdeformation und Kapazität

Ausgehend vom Modell

\(G(t) = \) \(V(t)\cdot\Bigl(1-\tfrac{L(t)}{100}\Bigr)\cdot\tfrac{K(t)}{100}\cdot \varphi(\Delta T(t)),\)

mit

\(\varphi(\Delta T) = \frac{1}{1+\alpha\cdot|\Delta T|^{\beta}}, \quad \alpha>0,\;\beta>1,\)

wird der segmentierte Geldwert \(G(t)\) für verschiedene Segmente bestimmt. Das Konsistenzminimum sei \(G_{\min}\).

Die Steuerlast ergibt sich als

\(S(t) = G(t)\cdot s,\)

mit Steuersatz \(s\in(0,1)\).

Die Steuerabweichung lautet

\(\Delta S(t) = S(t) – S_{\mathrm{Norm}}, \quad S_{\mathrm{Norm}}=G_{\min}\cdot s.\)

Interpretation:

• Konsistenzminimum: Liegt \(G(t)<G_{\min}\), entsteht eine Unterdeckung mit negativer Steuerabweichung.
• Fristdeformation: Mit wachsender Segmentdauer steigt \(|\Delta T|\), wodurch \(\varphi(\Delta T)\) sinkt. Dies dämpft den Geldwert, auch wenn \(V(t)\) zunimmt.
• Kapazität: Sinkt \(K(t)\) über die Segmente, verstärkt dies die Abwertung und erhöht die Wahrscheinlichkeit einer Unterdeckung.
• Steuerlast: Für Segmente mit \(G(t)<G_{\min}\) gilt \(S(t)<S_{\mathrm{Norm}}\) (negative Abweichung). Wird \(G(t)\geq G_{\min}\) überschritten, so steigt \(S(t)\) über die Normsteuer (positive Abweichung).
• Übergangspunkt: Kritisch sind jene Segmente, in denen \(G(t)\) erstmals das Konsistenzminimum überschreitet. Hier kippt das Verhältnis von Unterdeckung zu Überdeckung.

Der Steuervergleich im Segmentabgleich zeigt:

• Kurze Intervalle sind durch Unterdeckung und negative Steuerabweichung gekennzeichnet.
• Längere Intervalle gleichen die Unterdeckung aus und führen zu Überdeckung gegenüber dem Konsistenzminimum.
• Die Kombination aus Fristdeformation, sinkender Kapazität und wachsendem Nominalwert erzeugt eine charakteristische Entwicklung: zunächst Unterdeckung, dann Überdeckung.